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草稿:盒拓扑

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拓扑学中,拓扑空间笛卡尔积上有数种不同可行的拓扑。其中一个较自然的选择是盒拓扑,其中由组件空间中开集的笛卡尔积给出。 [1]另一种选择是乘积拓扑,其中基也由组件空间中开集的笛卡尔积给出,但其中只有有限个开集严格小于整个组件空间。

虽然盒拓扑的定义比乘积拓扑更直观,但它满足的性质较少。特别地,如果所有组件空间都是紧凑的,则它们的笛卡尔积上的盒拓扑不一定是紧凑的,而它们的笛卡尔积上的乘积拓扑始终是紧凑的。一般而言,盒拓扑比乘积拓扑更精细,尽管在有限乘积的情况下(或当除了有限多个因子之外的所有因子都是平凡的时候),两者是一致的。

定义

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对于使得

或拓扑空间的(可能是无限的)笛卡尔积索引盒子拓扑

生成。盒子这个名字来自于的情况,其中基中的开集看起来像盒子。乘积公间的盒拓扑的有时用表示。

性质

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考虑上的盒拓扑: [2]

与积拓扑比较

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乘积拓扑中基中的开集的定义与上述盒拓扑几乎相同,除了有一个限制:除了有限个U i之外,其他分量开集都等于分量空间X i

乘积拓扑满足关于分量空间的映射的一个非常理想的性质:由分量函数f i定义的乘积映射f : YX连续的当且仅当所有的f i都是连续的。然而这在盒拓扑中不总是成立。这使盒拓扑非常适用于构造反例—许多特性,例如紧凑性连通性、可度量性等。即使所有因子空间都具有这些特性,在盒拓扑中通常不会保留。

注释

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  1. ^ Willard, 8.2 pp. 52–53,
  2. ^ Steen, Seebach, 109. pp. 128–129.

参考文献

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  • Steen, Lynn A.和Seebach, J. Arthur Jr.;拓扑学中的反例,Holt, Rinehart 和 Winston (1970)。ISBN 0030794854国际标准书号 0030794854

外部链接

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