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草稿:盒拓撲

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拓撲學中,拓撲空間笛卡爾積上有數種不同可行的拓撲。其中一個較自然的選擇是盒拓撲,其中由組件空間中開集的笛卡爾積給出。 [1]另一種選擇是乘積拓撲,其中基也由組件空間中開集的笛卡爾積給出,但其中只有有限個開集嚴格小於整個組件空間。

雖然盒拓撲的定義比乘積拓撲更直觀,但它滿足的性質較少。特別地,如果所有組件空間都是緊湊的,則它們的笛卡爾積上的盒拓撲不一定是緊湊的,而它們的笛卡爾積上的乘積拓撲始終是緊湊的。一般而言,盒拓撲比乘積拓撲更精細,儘管在有限乘積的情況下(或當除了有限多個因子之外的所有因子都是平凡的時候),兩者是一致的。

定義

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對於使得

或拓撲空間的(可能是無限的)笛卡爾積索引盒子拓撲

生成。盒子這個名字來自於的情況,其中基中的開集看起來像盒子。乘積公間的盒拓撲的有時用表示。

性質

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考慮上的盒拓撲: [2]

與積拓撲比較

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乘積拓撲中基中的開集的定義與上述盒拓撲幾乎相同,除了有一個限制:除了有限個U i之外,其他分量開集都等於分量空間X i

乘積拓撲滿足關於分量空間的映射的一個非常理想的性質:由分量函數f i定義的乘積映射f : YX連續的若且唯若所有的f i都是連續的。然而這在盒拓撲中不總是成立。這使盒拓撲非常適用於構造反例—許多特性,例如緊湊性連通性、可度量性等。即使所有因子空間都具有這些特性,在盒拓撲中通常不會保留。

註釋

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  1. ^ Willard, 8.2 pp. 52–53,
  2. ^ Steen, Seebach, 109. pp. 128–129.

參考文獻

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  • Steen, Lynn A.和Seebach, J. Arthur Jr.;拓撲學中的反例,Holt, Rinehart 和 Winston (1970)。ISBN 0030794854國際標準書號 0030794854

外部連結

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