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雞兔同籠

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雞兔同籠問題是中國古代一道算術問題,最早可以追溯至南北朝時期的數學著作《孫子算經》,屬於一次方程組問題。

雞兔同籠

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雞兔同籠類似的問題第一次出現是在《孫子算經》的下卷中的一道算題:

今有雞、兔同籠,上有三十五頭,下九十四足。問雉、兔各幾何?

用現代漢語表示,就是:「現在籠子裡有雞(雉)和兔子在一起。從上面數一共有三十五個頭,從下面數一共有九十四隻腳,問一共有多少隻雞、多少隻兔子?」

在同一本書中也記載了解法:

上置三十五頭,下置九十四足。半其足,得四十七。以少減多。

也就是說,將腳的總數九十四除以二得到四十七,然後減去頭數三十五就得到兔子的數目,然後自然可以得到雞的數目。

原理

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《孫子算經》中的解法思路是:首先將所有動物的腳數除以二,這樣每隻雞將僅有一隻腳,每隻兔子將僅有兩隻腳。這樣,雞的腳數和頭數一樣,而每隻兔的腳數比頭數多一。如果所有的動物都是雞的話,那麼將僅有三十五隻腳了,但事實上有四十七隻腳。而每將一隻雞換成一隻兔子的話,就會使得腳的數目增加一。於是用四十七減去三十五,就可以知道有多少只雞被換成了兔子(也就是兔子的數目)。答案是十二隻。

假設法:35頭說明雞和兔共35隻,假設35隻全為雞,則應有(35×2)=70隻足,實則94隻足,還差94-70=24隻足,兔子4隻足,雞2隻足,一隻雞換成一隻兔子可以補上2隻足,現需補上24隻足,也就是需雞換兔24÷2=12隻,隻數不變,足補齊94隻,即兔子12隻,雞23隻,實際上這其實是二元一次聯立方程式用消去求法求X的方法。

以代數方式計算

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總數為兔子(x)和雞(y)的頭數相加共35隻。


一隻兔子比一隻雞多兩隻腳:


若全部是雞的話,極限會有70隻腳。


事實上多出了24隻兔腳。


24隻兔腳代表其中有12隻雞是兔子偽裝的,所以兔子是12隻。


兔子有12隻,那雞就有23隻。

參考來源

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