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介值定理

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数学分析中,介值定理(英语:intermediate value theorem,又称中间值定理)描述了连续函数在两点之间的连续性:

假设 为一连续函数。若一实数 满足 ,则存在一实数 使得

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明,在这个证明中,他附带证明了波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

定理

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介值定理图解

定理叙述

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介值定理 — ,且 为一连续函数。则下列叙述成立:

  • 对任意满足 的实数 ,皆存在一实数 使得
  • 值域为一闭区间。

证明

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先证明第一种情况 ;第二种情况也类似。

为所有满足 所构成的集合。由 可知 非空。由于 具有上界 ,故由实数的完备性最小上界 。我们以反证法证明

  • 首先假设 。由于 连续,我们能找到正实数 使得 对所有 均成立。由于 ,故存在满足 ;此时 ,故 ,即 ,与 矛盾。故原假设 不成立。
  • 接着假设 。由于 连续,我们能找到正实数 使得 对所有 均成立。设 ;此时 ,即 ,故 。这会导致 不是 的上界,矛盾。故原假设 不成立。

因此

与实数完备性的关系

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此定理仰赖于实数完备性,它对有理数不成立。例如函数满足,但不存在满足的有理数

零点定理(波尔查诺定理)

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零点定理是介值定理的一种特殊情况-如果曲线上两点的值正负号相反,其间必定存在一个根:

设函数在闭区间上连续,且,则必存在使成立。由于零点定理可用来找一方程式的根,也称为勘根定理伯纳德·波尔查诺于1817年证明了这个定理,同时证明了这个定理的一般情况(即介值定理)。以现代的标准来说,他的证明并不算是非常严格。[1]

现实世界中的意义

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介值定理意味着在地球的任何大圆上,温度压强海拔二氧化碳浓度(或其他任何连续变化的变量),总存在两个对跖点,在这两个点上该变量的值是相同的。

证明:f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线,与圆相交于点A和点B。设df(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度,将得到值−d。根据介值定理,一定存在某个旋转角,使得d = 0,在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参见

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参考资料

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  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Bolzano's Theorem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 

外部链接

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