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群作用

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给定一个等边三角形,通过把所有顶点映射到另一个顶点,绕三角形中心逆时针 120°旋转“作用”在这个三角形的顶点的集合上。

数学上,对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的:的每个元素作为一个双射(或者对称作用)作用在某个集合上。在这个情况下,群称为置换群(特别是在群有限或者不是线性空间时)或者变换群(特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时)。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示(通常该集合有限),并且可以表述为置换矩阵,一般在有限的情形作此考虑-这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

定义

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为一个 为一个集合 上的一个(左) 群作用 是一个二元函数

该函数满足如下两条公理:

  1. 对所有 以及
  2. 对每个 ,有 ( 为群 单位元)。

一般称群 (在左边)作用于集合 上,或称 是一个 -集合

为简化在群作用 上使用的符号,我们可以将其柯里化:令 为由单个元素 给出的映射 ,这样可以通过考虑函数集 来研究群作用。上述两条公理可以写作

其中 表示两函数的复合。所以第二条公理说明函数的复合可以与群运算互相对应,它们可以组成一个交换图表。该公理甚至可以简写为

一般简写为

由上述两条公理可知,对固定的元素 ,从映射到 是一个双射(单射和满射的条件可以分别通过考虑 给出)。因此,也可以将 上的群作用定义为从 对称群群同态

右群作用

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我们可以类似地定义一个 上的右群作用为函数,满足以下公理:

注意左和右作用的区别仅在于像 这样的积在 上作用的次序。左群作用中, 先作用,然后才到 ,而对于右作用 先作用,然后才到 。右作用与群上的逆操作复合可以构造出一个左作用。如果 为一右作用,则

是一左作用,因为

所以我们可以不失一般性地考虑左群作用。

群作用的种类

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群G作用在集合X上的作用称为:[1]

传递性(Transitive)
如果X是一个非空集合,对于每对数对 x,y X,则存在一个gG,使得,我们就称此作用为传递性
忠实性(Faithful)
如果群G嵌入(embbeding)到X的置换群中,我们就称此作用为忠实的。换言之,就是群G到X的置换群之中为单射。
自由性(Free)
如果给定 ,存在,则有着,则称为此作用为自由性。
正则的(Regular)
同时具有自由性以及传递性的作用称为正则的,又称简单传递(英语:simply transitive)。
n-传递性(n-transitive)
如果集合X 至少有 n 个元素, 对所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一个 g 在群G 使得 gxk = yk 对所有 1 ≤ kn ,我们就称其为n-传递性
本原的(Primitive)
如果传递性作用满足只有trivial区块(block),那我们称此作用为本原的。可以证明n-传递性皆为本原的。

轨道与稳定化子

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轨道

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令群 作用在集合 上,对 中的元素 上的轨道 的子集,定义为

记作

集合 的两个轨道要么相等,要么完全不相交,因此轨道是集合的一个划分。如果两个轨道 存在公共元素 ,那么存在两个 中的元素 ,使得 。因而 ,反之亦可推出 ,所以两个集合相等。

轨道的一个例子是陪集,假若 的一个子集,且定义 中元素的惯常运算规则为 上的一个作用,那么 的陪集 ()就是 的轨道。

不变子集

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的一个子集,群 作用在 上,对于群 中的所有元素 ,以及所有 中的元素 ,有 ,则我们会说 的作用下是封闭的。

的一个元素,对于群中的所有元素而言,都有,那么就称-不变的(-invariant)。

不动点与稳定子群

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,如果 ,则 是关于 的一个不动点

的元素 ,所有令 中的元素 构成的集合称为 关于 稳定子群,记作

的一个子群,因为根据定义,因此 的单位元 中。如果 ,那么的逆元也是的元素,因为

轨道-稳定点定理

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轨道与稳定子群紧密相关。令群 作用在 上,令 中的 ,考虑映射 。该映射的值域等于轨道 中的两元素 的像 相同的条件是

换言之, 当且仅当 在稳定子群 的同一个陪集中。所以所有在轨道 中的元素 原像都包含于某个陪集中,每个陪集的像亦为 的一个单元素集合。因此 事实上是 的所有陪集与 的元素的一一对应 是一个双射函数

这个结论称为轨道-稳定点定理,有

伯恩赛德引理

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而一个跟轨道-稳定点定理相似的结果就是伯恩赛德引理

其中 关于 的稳定子群。 都有限时该引理尤其重要,可以被诠释为“群作用的轨道数等于平均每个群元素的不动点的个数”。

西罗定理

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范例

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  • 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 gx = x 对任意g属于G以及任意x属于X;换句话说,每个群元素对应 X上的恒等置换[2]

参考资料

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  1. ^ Lovett, Stephen. Abstract Algebra: Structures and Applications. CRC. 2015. ISBN 1482248905. 
  2. ^ Eie & Chang. A Course on Abstract Algebra. 2010: 145.