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無窮小變換

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數學裏,無窮小變換是小變換的一個無窮小極限。例如我們可以談論三維空間中一個剛體無窮小旋轉。這通常由一個 3×3 反對稱矩陣 A 表示。它不是空間中的實際旋轉;但是對一個小參數 ε,我們有

與小旋轉之差只是 ε2 階量。

無窮小變換的綜合理論最早由索甫斯·李給出。事實上這是他在如今稱為李群及其李代數方面工作的核心;以及它們在幾何特別是微分方程中作用的等同。一個抽象李群的性質正是無窮小變換的那些限定,正如群論的公理實現了對稱。

例如,在無窮小旋轉情形,將一個反對稱矩陣與一個三維向量等同,則李代數結構由叉積給出。這相當於選取旋轉的一個軸;雅可比恆等式是叉積一個熟知的性質。

無窮小變換最早的例子可能認為出現於齊次函數的歐拉定理中。它斷言 n 個變量 x1, ..., xn 的一個度數為 r 的齊次函數 F,滿足

其中

是一個微分算子。這是由性質

我們可對 λ 微分,然後取 λ 等於 1。這是光滑函數 F 有齊次性質的一個必要條件;這也是充足的(通過利用施瓦茲分佈我們簡化這裏考慮的數學分析)。在我們有一個縮放算子的單參數子群時這個過程是典型的;變換的信息事實上包含於一階微分算子無窮小變換中。

算子方程

這裏

泰勒定理的一個算子版本,從而只對 f 是一個解析函數成立。集中於算子部分,它實際上說明 D 是一個無窮小變換,通過指數生成在實直線上的平移。在李理論中,這推廣得很遠。任何連通空間李群可由它的無窮小生成元(這個群李代數的一個基)構造出來;貝克-坎貝爾-豪斯多夫公式中給出了清晰不過未必總有用的信息。