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連續映射定理

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概率論中,連續映射定理(英語:Continuous mapping theorem)指出連續函數保持極限,即使其參數是一列隨機變量

海涅定義下的連續函數是指將收斂數列映為收斂數列的函數:如果 那麼 。連續映射定理指出,如果把確定的數列替換為一列隨機變量,把通常的收斂定義替換為某種隨機變量的收斂定義,那麼這個命題依然成立。 這個定理第一次由Mann & Wald (1943)證明,因此有時又被稱作Mann–Wald定理。[1]

敍述

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度量空間中的隨機元素,又設為自至另一個度量空間的函數,其不連續點滿足,則:[2][3]

其中箭嘴上標的d、p、a.s.分別表示依分佈收斂依概率收斂殆必收斂

參考資料

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  1. ^ Amemiya 1985,第88頁
  2. ^ Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons. 1969: 31 (Corollary 1). ISBN 0-471-07242-7. 
  3. ^ Van der Vaart, A. W. Asymptotic Statistics. New York: Cambridge University Press. 1998: 7 (Theorem 2.3) [2022-05-02]. ISBN 0-521-49603-9. (原始內容存檔於2020-07-28).