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矩陣分析

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矩陣分析(英語:matrix analysis) 是一門研究矩陣及其代數性質的學科。這門學科研究的內容包括矩陣的運算(加法、矩陣乘法等)、矩陣函數、矩陣的特徵值(特徵值分解)等。

矩陣空間

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數域 F 下的所有 m×n 矩陣構成向量空間 Mmn(F)。數域 F 包括有理數ℚ、實數ℝ、複數ℂ等。當 時,空間 Mmn(F) 和 Mpq(F) 不一致,例如 M32(F) ≠ M23(F)。

兩個 m×n 的矩陣 AB 在空間 Mmn(F) 相加可以得到空間 Mmn(F) 下的一個新矩陣:

與數域 F 中的數 α 相乘,也可以得到空間 Mmn(F) 下的矩陣:

以上兩條性質可以總結為:在矩陣空間 Mmn(F) 下的兩個矩陣 AB 線性組合可以得到空間 Mmn(F) 下的一個新矩陣:

其中 αβ 是數域 F 中的數。

所有矩陣都可以表示為基矩陣的線性組合,這些基矩陣起到類似於基向量的作用。例如,對於實數域下的 2×2 矩陣空間 M22(ℝ),一組可行的基矩陣可以是:

因為所有的 2×2 矩陣均可以表示為:

其中 a, b, c,d 均為實數。這個思路也可以推廣到高維矩陣空間下。

行列式

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行列式是方陣的重要性質之一,它可以指示一個矩陣是否可逆。矩陣的行列式被用於計算特徵值、求解線性方程組等方面。

矩陣的特徵值和特徵向量

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一個 矩陣的特徵值 和特徵向量 定義為:

也就是說,一個矩陣乘以它的特徵向量相當於它的特徵值乘以特徵向量。一個 的矩陣有 n 個特徵值,它們是矩陣特徵多項式的根:

其中 單位矩陣

相似矩陣

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如果兩個的矩陣可以用相似變換聯繫起來,則兩個矩陣相似:

可逆矩陣被稱為相似變換矩陣。

酉相似

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