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棣莫弗公式

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複平面上的立方根等於1.

棣莫弗公式(英語:de Moivre's formula)是一個關於複數三角函數的公式,命名自法國數學家亞伯拉罕·棣美弗(1667年-1754年)。其內容為對任意實數整數,下列性質成立:

其中虛數單位)。值得注意的是,儘管本公式以棣美弗本人命名,他從未直接地將其發表過[1]。為了方便起見,我們常常將合併為另一個三角函數cis(x),也就是說:

在操作上,我們常常限制屬於實數,這樣一來就可藉由比較虛部與實部的方式把變化為的形式。另外,儘管棣美弗公式限制須為整數,但倘若適當推廣本公式,便可將拓展到非整數的領域。

證明

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(證明的思路是用數學歸納法證明正整數的情形,並推廣到負整數。)

(1)當時,顯然成立。

(2)當時:

左式 右式

因此,成立。

(3)當時:

假設成立,即

時:

等號1處使用和角公式

因此,也成立。

綜上所述,根據數學歸納法,成立。

另外,由恆等式:

可知,公式對於負整數情況也成立。

證畢。

檢定

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最簡單的方法是應用歐拉公式[2]

由於
所以

用棣莫弗公式求根

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此定理可用來求單位複數的 次方根。設 ,表為

,則 也可以表成:

按照棣莫弗公式:

於是得到

(其中

也就是:

,我們得到 個不同的根:

參考資料

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  1. ^ Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels. College Algebra and Trigonometry 4th. Boston: Pearson/Addison Wesley. 2008: 792. ISBN 9780321497444. 
  2. ^ 林琦焜. 棣美弗定理與 Euler 公式 (PDF). 中央研究院. 2006-12-22 [2017-06-18]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-01-19).