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总变差

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当绿点遍历整个函数时,绿点在y-轴上的投影红点走过的路程就是该函数的总变分.

数学中,总变差(英語:Total variation)就是一函数其数值变化的差的总和。

定义

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矢量空间

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实值函数定义在区间的总变差是一维参数曲线弧长连续可微函数的总变差,可由如下的积分给出

任意实值或虚值函数定义在区间上的总变差,由

定义。其中为区间中的所有分划.

定义在有界区域上的实值可积函数总变差,定义为

其中 是Ω中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合, 本质上确界范数

可微,上式可简化为

度量空间

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在一个度量空间上,集函数,其总变差为:

其中的划分。 如果符号测度,通过汉分解定理可知:

可微定义的证明

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首先需要利用高斯散度定理证明一个等式.

引理

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在假设条件下,下面的等式成立:

引理证明

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高斯散度定理. 将代入,可得

由于在的边界上,从而

注意到代入上式,移项即得

.

如果函数的总变差有限,则称函数有界变差函数.

参阅

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外部链接

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理论

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单变量

多变量

测度论

概率论

应用

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