跳转到内容

介值定理

本页使用了标题或全文手工转换
维基百科,自由的百科全书
(重定向自中間值定理

数学分析中,介值定理(英語:intermediate value theorem,又稱中间值定理)描述了連續函數在兩點之間的連續性:

假設 為一連續函數。若一實數 滿足 ,則存在一實數 使得

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明,在這個證明中,他附帶證明了波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

定理

[编辑]
介值定理圖解

定理敘述

[编辑]

中間值定理 — ,且 為一連續函數。則下列敘述成立:

  • 對任意滿足 的實數 ,皆存在一實數 使得
  • 值域為一閉區間。

证明

[编辑]

先证明第一种情况 ;第二种情况也类似。

为所有滿足 所構成的集合。由 可知 非空。由於 具有上界 ,故由实数的完备性最小上界 。我们以反证法证明

  • 首先假设 。由於 连续,我們能找到正实数 使得 對所有 均成立。由於 ,故存在滿足 ;此時 ,故 ,即 ,與 矛盾。故原假設 不成立。
  • 接著假设 。由於 连续,我們能找到正实数 使得 對所有 均成立。設 ;此時 ,即 ,故 。這會導致 不是 的上界,矛盾。故原假設 不成立。

因此

與實數完備性的關係

[编辑]

此定理仰賴於實數完備性,它對有理數不成立。例如函數滿足,但不存在滿足的有理數

零点定理(波尔查诺定理)

[编辑]

零点定理是介值定理的一种特殊情况-如果曲線上兩點的值正負號相反,其間必定存在一個根:

设函数在闭区间上连续,且,则必存在使成立。由於零点定理可用來找一方程式的根,也稱為勘根定理伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理,同時證明了這個定理的一般情況(即介值定理)。以現代的標準來說,他的證明並不算是非常嚴格。[1]

现实世界中的意义

[编辑]

介值定理意味着在地球的任何大圆上,温度压强海拔二氧化碳浓度(或其他任何连续变化的变量),总存在两个对蹠点,在这两个点上该变量的值是相同的。

证明:f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线,与圆相交于点A和点B。设df(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度,将得到值−d。根据介值定理,一定存在某个旋转角,使得d = 0,在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参见

[编辑]

参考资料

[编辑]
  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Bolzano's Theorem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 

外部链接

[编辑]