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σ-代数

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數學中,某個集合 X 上的 σ-代数(英語:σ-algebra)又叫 σ-域(英語:σ-field),是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。这个子集族对于補集运算和可數個聯集运算具有封闭性(因此对于可數個交集运算也是封闭的)。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”,是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于1900~1930年,它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数(得名于法国数学家埃米·波莱尔),以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中,σ-代数不仅仅是用于建立公理体系,也是一个强有力的工具,在定义许多重要的概念如条件期望的时候,都需要用到。

动机

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σ-代数的提出有至少三个作用:定义测度,操作集合的极限,以及管理集合所表示的部分信息。

测度

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测度是给的子集赋予非负实数值的函数;可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲,若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和,即使有无穷多个这样的不交集

定义

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定義 — 
為一集合,假設有子集族 代表 冪集)滿足下列條件[1][2]

則稱 的一個 σ-代數

注意到定義第3條的,意思是 自然数系 等势,直觀的意思就是 裡的元素跟自然數一樣多。

以上定義的直觀意義為:一群 子集合所組成的集合 ,为 上的一个 σ-代数意思是滿足:

  • 本身就是 的元素;
  • 如果集合 中,那么它的补集 也在中;
  • 如果有可數个集合 都在 中,那么它们的聯集也在 中。

測度論有序对 會被称为一个可测空间。而任何在 中的子集 ,則称为可测集合(measurable set);而在概率论中, 被稱為事件族(family of events), 中的子集 則称为事件

例子

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  • 上最小的σ-代数是
  • 上最大的σ-代数是冪集(也就是所有 子集合所組成的集合)

最小σ-代数

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定理 — 
的一個子集族,則:

也是 的σ代数。

證明
根據 的定義(嚴謹來說,依據分類公理所新增的公理),對所有集合 有:
(a)

以下將逐條檢驗σ代数的定義,來驗證 的確是 的σ代数:

(1)

對所有的集合族 來說,只要 是σ代数,按照定義理當有 ,所以由式(a)的右方的確可以得出

(2)若 ,則 也在

,那根據式(a),對所有的集合族 來說,只要 是σ代数 且,理當有 ,所以對所有 只要滿足這兩個條件,理當有 ,所以由式(a)的右方的確有:

(3)可數個并集也在

,由式(a),只要 滿足(a)左方的兩個條件,就有 ,所以:

所以再從(a)右方,就可以得到:

綜上所述, 的確是 的σ代数。

根據以上的定理,可以做以下的定義:

定義 — 
的一個子集族,則:

稱為包含 最小σ-代数

例子

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  • 设集合,那么 是集合上含有 的σ-代数中最「小」的一个。


性质

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σ-代数是一个代数也是一个λ系,它对集合的交集聯集差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的。

参考来源

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  1. ^ Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950. ,第28页
  2. ^ Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2. ,第45-46页